Question

如图，在四棱锥中， ，底面是正方形，且.

（Ⅰ）若是中点，是的中点，求证：；

（Ⅱ）求四棱锥的侧面积.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明平面外一条直线平行于平面，通常证明这条直线平行于平面内的一条直线，即直线与平面平行的判定定理，由线线平行得线面平行。本题中直线是外的直线，所以要在构造一条直线和直线平行；因为是中点，是的中点，通常通过构造三角形的中位线来证明，所以取的中点，连结，由三角形中位线的性质证明线线平行，得到线面平行。（Ⅱ）求四棱锥的侧面积，就是求四棱锥每个侧面三角形的面积之和。由题意：；利用直线与平面垂直的判定定理，得到,所以，得是直角三角形，从而求得其面积；同理可得到也是直角三角形，求得其面积。这四个侧面三角形的面积之和即为四棱锥的侧面积。

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连结.

因为是三角形的中位线，

所以.

又因为，所以.

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为，，所以.

（Ⅱ）依题意得.

因为所以,

又因为，且，所以.

又因为，所以. 所以是直角三角形.

，所以.

同理可得.

所以四棱锥的侧面积是.

考点：直线与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定定理；棱锥的侧面积。