Question

已知抛物线C：，过点（12，0）作直线垂直轴交抛物线于两点，于E，AE//OM，O为坐标原点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若抛物线上存在不同的两点G、H关于直线对称，求取值的范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析： （Ⅰ）要求的值，只需找到抛物线上的一点，代入解析式即求得，所以只需找到点中任意一点的坐标即可。由抛物线图像的性质及垂直轴，得；由是中点，，，根据三角形的性质得是等边三角形，从而得到点，代入，得.（Ⅱ）因为GH与直线垂直，根据两直线垂直的斜率关系，设出直线的方程为并代入抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得出坐标的关系, ，同时注意判别式大于零求出参数的范围，，由G、H关于直线对称，利用中点坐标得到取值的范围为。

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）因为垂直轴，所以关于轴对称，所以

又因为是中点，，所以是中点，

又，所以，所以是等边三角形，所以，

所以，代入，得.

（Ⅱ）因为GH与直线垂直，所以可设GH的方程为，

由，得，

由 ①，

设，，GH的中点为，

由，得，

代入得，

又因为在直线上，所以有，得，

结合①，得取值的范围为.

考点：直线与抛物线的综合应用。