Question

已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.

（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线与轨迹交于两点，若 （是坐标原点），求直线方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）线段的垂直平分线交半径于点，得；所以，根据椭圆的定义，得到轨迹是以为焦点的椭圆；根据题中条件求出椭圆中的，所以轨迹的方程. （Ⅱ）求直线方程，就是求斜率的值。由，利用向量的数量积，得；利用直线的方程消元，得；点即在直线上，又在椭圆上，联立方程组，得，判定一元二次方程根并利用韦达定理写出根与系数的关系；代入式求出斜率，得直线方程为.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为在线段的中垂线上，所以，

所以，

所以轨迹是以为焦点的椭圆，且，

所以轨迹的方程.

（Ⅱ）设，由，得，

即，即 

由，得，

因为，

所以，有

代入化简得，解得，

所以直线方程为.

考点：求轨迹方程；直线、圆、向量和一元二次方程的综合应用.