Question

如图所示，四边形是菱形，是与的交点，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，AB=2，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由线面垂直得线线垂直，再有线线垂直得线面垂直，最后得面面垂直。由，得；由，，得；.（Ⅱ）法一：先作出是二面角的平面角，再求出的余弦值，即二面角的余弦值. 法二：建立空间直角坐标系，由将有向线段用空间向量表示；将二面角转化为平面法向量的夹角；由向量的数量积求得平面法向量的夹角的余弦值，即二面角的余弦值。

试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，

所以.

又因为，

又，所以，

.

（Ⅱ）法一：

，

过作，则，连接，则，

所以是二面角的平面角.

在菱形中，，

，

因为.

，

,，

所以，即二面角的余弦值.

法二：

以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立坐标系.

设,易得，，，，

，，由得，得，

，设是平面的一个法向量，

则 ，即，即即，

解得一个法向量为

又是平面的一个法向量，

所以，

故二面角的余弦值

考点：向量和立体几何的综合应用