Question

设函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，，求的取值范围．

Answer

（1）的单调增区间是，单调减区间是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求函数的单调区间，通常使用导函数法，，令可求得单调增区间，令可求得单调减区间；（2）因为，有已知条件可知，通过在恒成立，来求的取值范围，所以可构造一个新函数，即，通过导函数求得其最小值，使最小值非负，即可求的取值范围．

试题解析：（1）时，，．当时；当时，；当时，．故在单调增加，在单调减少．

（2）．令，则．若，则当时，，为增函数，而，从而当时，即．

若，则当时，，为减函数，而，从而当时，即．

综合得的取值范围为．

考点：函数的单调性，导函数的运用.

【方法点睛】求函数的单调区间，如果函数解析式比较简单可以通过定义法，也可通过基本初等函数的单调性来求；当函数解析式比较复杂难求时，需要利用导函数的性质来求单调区间，即通过导函数的正负区间来确定函数的单调区间；而对于含参函数的恒成立问题，可以先求导函数，在对参数进行分类讨论，求得不同参数所应的函数最值，再结合不等式求参数的取值范围.