Question

定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；

②函数的对称中心也是函数的一个对称中心；

③存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心；

④若函数，则.

其中正确命题的序号为        （把所有正确命题的序号都填上）.

Answer

②③④

【解析】

试题分析：，，，因为有一个实根，所以有一个“拐点”，故①错误；

因为，所以，，令，得，则是函数的对称中心也是函数的一个对称中心，故②正确；联立，得，即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故③正确；因为，所以，，令，得，且，则函数关于点对称，即；令，

且，两式相加，得

，所以，故④正确；故填②③④．

考点：1.利用导数研究函数的性质；2.新定义型函数．

【方法点睛】本题以新定义型题目考查利用导数研究三次函数的对称性以及倒序相加法，属于中档题；处理新定义型题目的关键是准确理解新定义，正确利用所学知识解释新题意，如本题中求三次函数的对称中心，实质是对三次函数连续求导，利用以及二阶导函数的零点个数以及三次函数的对称中心.