Question

已知函数，.

（I）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；

（II）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.

Answer

（I）见解析；（II） ，见解析．

【解析】

试题分析：（I）求导，利用判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，再利用零点存在定理进行证明；（II）先根据的范围讨论与的大小，确定的关系式，再判定与的大小，利用分析法进行证明．

试题解析：（1）证明：，定义域为，，

而，故，即在上单调递增，

又，而在上连续，故根据零点存在定理，

有在区间有且仅有唯一实根.

当时，，而，故此时有，

由（1）知，，当时，，

且存在使得，故时，；

当时，.

因而，

显然当时，，因而单增；

当时，，，因而递减；

在有两不等实根，则

显然当时，，下面用分析法给出证明.

要证：即证，而在上递减，

故可证，又由，即证，

即，

记，其中.

，

记，当时，；时，

故，而故，而，从而，

因此，

即单增.从而时，即，

故得证

考点：1.零点存在定理；2.利用导数研究函数的单调性和最值；3.分析法．