Question

心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．

（III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

附表及公式

Answer

（I）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（II）；（Ⅲ）

1

【解析】

试题分析：（I）先利用列联表和公式求值，再结合临界值表得到结论；（II）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分，利用几何概型的概率公式进行求解；（Ⅲ）先确定每人被抽到的概率，再列举随机变量的可能取值，分别求出每个变量的概率，列表得到分布列，再根据期望公式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）由表中数据得的观测值

所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）

（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)

设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为

由几何概型 即乙比甲先解答完的概率

（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种

可能取值为，，

，

的分布列为：

1

考点：1.独立性检验；2.几何概型；3.离散型随机变量的分布列和期望．