Question

已知函数，.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（2）已知f（x）在区间（-2，3）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（-2，3）上恒成立，然后用导数求f（x）的单调递减区间，再对m进行分类讨论建立关于m的不等关系解之即可得到m的取值范围

试题解析：（Ⅰ）当时，，

又，所以.

又，

所以所求切线方程为 ，即.

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为，

令，得或.

当时，恒成立，不符合题意.

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，

则解得.

当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.

考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性