Question

已知函数.

（1）当时，求在区间上的最大值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，函数的图象恒在直线下方.

【解析】

试题分析：（1）利用导数判断出函数在区间上的单调性，求出各极值与区间端点的函数值进行比较即得最大值；（2）构造函数，则在区间上恒成立，通过讨论的取值范围得到其单调性，求得最大值，由即可求得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，

当，有；当，有在区间上是增函数，在区间上位减函数，；

（2）令，则的定义域为

在区间上，函数的图像恒在直线下方等价于在区间上恒成立

①若，令，得极值点

当即时，在上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；

当即时，同理可知，在区间上，有，也不符合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，从而在上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足,由此求得的范围是.

综合①②可知，当时，函数的图像横在直线下方.

考点：利用导数研究函数在给定区间上的最值和恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在给定区间上的最值问题和与函数图象有关的恒成立问题，属于中档题.解答导数问题，最核心的还是研究函数的单调性，有了单调性就可以找到极值点，求出极值与区间端点的函数值进行比较即得其最值；对于函数图象的位置关系问题通常采用构造新函数的方法，仍然转化为函数的最值问题，解答这类问题往往离不开数形结合和分类讨论及转化等数学思想.