Question

如图，长方体中，，点是的中点．

（1）求证：；   

（2）求二面角的大小．

（本大题请用向量法解决，否则判零分）

Answer

（1）详见解析（2）120°

【解析】

试题分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE；（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大小

试题解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0），＝（0，1，1），＝（－1，－1，1），＝（－1，0，0）．

因为·＝0，·＝0，

所以⊥，⊥．

则DE⊥BE，DE⊥BC．

因为BE平面BCE，BC平面BCE，BE ∩BC＝B，

所以DE⊥平面BCE．

（2）设平面AEB的法向量为＝（x，y，z），

则即

所以平面AEB的法向量为＝（1，0，1）．

因为DE⊥平面BCE，所以就是平面BCE的法向量．

因为cos＜，＞＝＝，

由图形可得二面角A—EB—C的大小为120°．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定