Question

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F₁作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F₂为双曲线的右焦点，且AF₂⊥x轴，如图．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若|AB|＝16，求双曲线的标准方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在直角三角形中可得各边长关系，结合双曲线的定义可得间关系，即可求得离心率．（Ⅱ）右焦点所以可求得直线方程，代入椭圆方程得关于的一元二次方程．可得两根之和两根之积．由弦长公式及可求得的值，从而可得双曲线方程．

试题解析：解:（Ⅰ）设双曲线方程为．

由已知．

在中，， ．

因为，所以，即，所以．

（Ⅱ）因为，所以，

从而双曲线方程化为，即．

因为右焦点为，则直线l的方程为．代人双曲线方程，

得，即．

设点，则．

所以

．

因为，所以，从而．故双曲线方程是．

考点：1双曲线的简单几何性质；2弦长问题．