Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：先证明底面为正方形，从而可以说明对角线垂直，然后根据题目的垂直条件可以得证；也可以利用已知线段与平面的法向量平行得证；找出两个平面的法向量，根据向量夹角公式可以求得第二问

试题解析： 【解析】
方法一：证：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA ．又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC．

【解析】
（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角． 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 ．

∴

方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

【解析】
（2）由（1）得．

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴ 故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得 ．

考点：立体几何中的线面垂直；空间向量求二面角