Question

已知函数是偶函数．

（1）求的值；

（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围 ．

（3）设，若函数的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）因为f（x）为偶函数所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；（2）函数与直线没有交点即无解，即方程无解．令，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让b≤0就无解；（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可

试题解析：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）=f（x），

即对于∀x∈R恒成立．

即恒成立

即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以．

（2）由题意知方程即方程log9（9x+1）﹣x=b无解．

令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．

因为

任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．

于是，即g（x1）＞g（x2），

所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数．

因为，所以．

所以b的取值范围是．

（3）由题意知方程有且只有一个实数根．

令3x=t＞0，则关于t的方程（记为（*））

有且只有一个正根．

若a=1，则，不合，舍去；

若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．

由或﹣3；但，不合，舍去；而；

方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）•（﹣1）＜0，即﹣a+1＜0，解得：a＞1．

综上所述，实数a的取值范围{﹣3}∪（1，+∞）．

考点：1．函数奇偶性的性质；2．函数与方程的综合运用