Question

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

Answer

利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．
【解析】
因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．
所以当x∈[1，2]时2-x∈[0，1]，
f（x）=f（2-x）=（2-x）3，
当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[]时，g（x）=-xcosπx，
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（）=g（）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[-，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．
共有6个零点，
故选B