Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足，记T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：2T_n+1＜log₂（a_n+3）

Answer

（I）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0由此能求出an．
（II）根据数列{bn}满足，可得，从而Tn=b1+b2+…+bn=，利用分析法证明．要证2Tn+1＜log2（an+3），即证＜log2（an+3），即证，构造函数，可得{cn}是单调递减数列，即可证出结论．
（I）【解析】
n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足，
∴
∴Tn=b1+b2+…+bn=
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证＜log2（an+3）
即证
即证
令，
∴
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴
∴
故2Tn+1＜log2（an+3）．