Question

已知函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|．
（1）当k=-1时，把f（x）写成分段函数，并画出f（x）的图象；
（2）若是函数f（x）的最小值，求k的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，知f（x）=|2x-1|-|x+1|，由此能把f（x）写成分段函数，并画出f（x）的图象．
（2）由f（x）=|2x-1|+k|x+1|，是函数f（x）的最小值，能求出k的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，
∴f（x）=|2x-1|-|x+1|，
由2x-1=0，得x=；由x+1=0，得x=-1．
当x时，f（x）=2x-1-x-1=x-2；
当-1时，f（x）=1-2x-x-1=-3x；
当x＜-1时，f（x）=1-2x+x+1=2-x．
∴f（x）=．
利用描点法作出图象如下：

（2）∵f（x）=|2x-1|+k|x+1|，
由2x-1=0，得x=；由x+1=0，得x=-1．
当x时，f（x）=2x-1+kx+k=（k+2）x-1+k；
当-1时，f（x）=1-2x+kx+k=（k-2）x+k+1；
当x＜-1时，f（x）=1-2x-kx-k=-（k+2）x+1-k．
∴，
∵是函数f（x）的最小值，
∴，解得-2≤k≤2．
故k的取值范围是[-2，2]．