Question

已知f（x）=sinx+sin（-x）．
（1）若α∈[0，π]，且sin2α=，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）由α的范围，得到sinα大于0，再由二倍角的正弦函数公式化简等式sin2α=的左边，根据sinα大于0，得到cosα大于0，可得出α的具体范围，然后将x=α代入函数f（x）解析式中得到f（α）=sinα+cosα，利用诱导公式化简，并根据2sinα•cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα+cosα的值，即为f（α）的值；
（2）利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简f（x）解析式，得到一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为f（x）的单调递增区间．
【解析】
（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0，
∴f（α）=sinα+cosα，…（1分）
又sin2α==2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，），sinα+cosα＞0，…（3分）
由（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα=，…（5分）
∴sinα+cosα=，
∴f （α）=；…（7分）
（2）由（1）知f （x）=sin（x+），
当2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）是单调递增，…（9分）
∴2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），又0≤x≤π，…（11分）
∴f（x）的单调递增区间为[0，]．…（12分）