Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的性质，可得线线垂直，再利用线面垂直的判定，即可证明BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAB；
（Ⅱ）【解析】
建立如图所示的坐标系，

则AD=4，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4）
∴=（2，1，0），=（2，1，-4），=（0，4，-4）
令平面PCD的法向量为=（x，y，z），则
由，可得
令z=1，可得=（，1，1），
∴直线AC与平面PCD所成角的正弦值为|cos＜＞|==．