Question

设函数f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．则f（x）在区间（，1）内（ ）
A．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递增
B．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递减
C．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…非单调数列
D．不存在零点

Answer

利用零点的判断方法只要判断，说明函数f（x）在区间（，1）内存在零点；利用导数可证明f（x）在区间（，1）上单调，即可说明f（x）在区间（，1）内存在唯一的零点．再利用条件证明零点单调即可．
【解析】
当n≥2时，，f（1）=1＞0，∴，∴f（x）在区间（，1）内有零点．
又当x∈（，1）时，f′（x）=nxn-1+1＞0，∴f（x）在区间（，1）上单调递增．
故函数f（x）在区间（，1）内存在唯一的零点xn．
下面证明所有零点组成的数列x2，x3，…，xn…单调递增．
由，，，（i∈N+）（i≥2）可知：xn≠xn+1．
用反证法证明：必有xn＜xn+1．
如若不然，则xn+1＜xn．
∵，于是，
∴1=＜=1，矛盾．
故必有xn＜xn+1．
故选A．