Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
（ I）求椭圆C的方程；
（ I I）问是否存在直线，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用题设条件，根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，由此能求出椭圆的方程．
（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，再根据判别式大于0求得t的范围，再利用直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．
【解析】
（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴c=2，左焦点F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|==8，
解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为=1．
（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=x+t，
由，得3x2+3tx+t2-12=0，
∵直线l与椭圆有公共点，∴△=（3t）2-4×3（t2-12）≥0，
解得-4≤t≤4，
∵直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[-4，4]，
所以符合题意的直线l不存在．