Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12；数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n对一切n∈N^*都成立，求最小正整数m．

Answer

（1）由数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出它的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由数列{bn}的前n项和是{Sn}，且Sn+bn=1，当n=1时，解得．当n≥2时推导出，由此能够证明{bn}是公比的等比数列．
（3）由bn==2•（）n，知Cn==，由此利用裂项求和法得到Tn=1-＜1．由Tn对一切n∈N*都成立，知≥1．由此以能求出最小正整数m的值．
（1）【解析】
∵数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12，
∴，解得a1=4，d=2，
∴an=4+2（n-1）=2n+2．
（2）证明：∵数列{bn}的前n项和是{Sn}，且Sn+bn=1，
∴当n=1时，，解得．
当n≥2时，∵Sn=1-，Sn-1=1-，
∴Sn-Sn-1=，即，
∴=．
∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列．
（3）【解析】
由（2）知，bn==2•（）n，
∴Cn====，
∴Tn=[（1-）+（）+（）+…+（）]
=1-＜1．
∵Tn对一切n∈N*都成立，
∴≥1．∴m≥2012，
∴最小正整数m的值为2012．