Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=log₂^x为（0，+∞）上的“1高调函数”；
②函数f（x）=cos2x为R上的“π高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[-1，+∞）．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

根据对数函数f（x）=lgx的图象可得对数函数为增函数，且满足高调函数定义，故f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，1＞0满足条件，可判断①；
函数f（x）=cos2x为R上，周期为π的周期，且满足高调函数定义，故f（x）=cos2x为R上的kπ（k∈Z）高调函数，k=-1时，满足条件，可判断②；
函数f（x）=x2在[-1，0]上为减函数，在[0，+∞）上是增函数，若满足函数f（x）=x2为[-1，+∞）上“m高调函数”，则实数m的取值范围是[2，+∞），可判断③
【解析】
∵f（x）=log2x为增函数，∴当m＞0时，log2（x+m）≥log2x，
∴函数f（x）=log2x为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，1＞0，故①正确；
∵cos2（x+π）=cos2x，
∴函数f（x）=cos2x为R上的π高调函数，故②正确；
∵如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么实数m的取值范围是[2，+∞），故③不正确，
故答案为：①②