Question

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=-，利用对称轴x=-与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论能求出f（x）的最小值．
（2）假设存在．由题设条件得，由此能求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=-，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-）=1-，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-）=lg（1-）；
③当-≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）min=．
（2）假设存在．
由题设条件，得，
等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x2+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴，即，
解得-＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-，-1）．