Question

在如图1所示的四边形ABCD中，．现将△ABD沿BD翻折，如图2所示．
（Ⅰ）若二面角A-BD-C为直二面角，求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）当异面直线AD，BC所成角为时，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用二面角A-BD-C为直二面角，可得平面ABD⊥平面BCD，根据面面垂直的性质，可得AD⊥平面BCD，从而可得AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O为垂足，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BD-C的余弦值．
（Ⅰ）证明：∵二面角A-BD-C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AD⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AD⊥平面BCD
∵BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O为垂足，建立空间直角坐标系
∵AD=2，∴BC=1，BO=，OC=，OD=
设二面角A-BD-C的大小为θ，则A（-，2cosθ，2sinθ），D（（-，0，0），B（，0，0），C（0，，0）
∴=（0，2cosθ，2sinθ），=（，，0）
∵=cos
∴=2cos
∵异面直线AD，BC所成角为
∴=或
∴cosθ=或-
∴二面角A-BD-C的余弦值为或-．