Question

（理科）在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）若点M的横坐标为2，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A、B，l与圆Q有两个不同的交点D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

Answer

（1）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线上，再根据Q到抛物线C的准线的距离，建立方程求得p，从而得到抛物线C的方程；
（2）将抛物线化成二次函数，利用导数的几何意义，得到切线方程，从而确定Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐标；
（3）求出⊙Q的方程，利用直线与抛物线方程联立方程组，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，即可得到|AB|2+|DE|2的表达式．
【解析】
（1）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=，
设Q（xQ，yQ），得yQ=，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为-（-）=，解之得p=1
由此可得，抛物线C的方程为x2=2y；
（2）设存在点M（x，），抛物线化成二次函数：y=x2，
对函数求导数，得y′=x，得切线MQ：y-=x（x-x），
由（1）知，yQ=，所以对MQ方程令y=，得xQ=
∴Q（，），
结合|MQ|=|OQ|得
∴
∵M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点，
∴存在M（，1），使得直线MQ与抛物线C相切于点M；
（3）当x=2时，由（2）的Q（，），⊙Q的半径为：r=所以⊙Q的方程为（x-）2+（y-）2=．
由，整理得2x2-4kx-1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=-，
所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．
直线方程代入圆的方程，整理得（1+k2）x2-x-=0，
设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），
由于△＞0，x3+x4=，x3x4=-．
所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2-4x3x4]=+，
因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）++．