Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁．

Answer

（1）证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD．因为O、D分别是A1B、BC的中点，所以A1C∥OD． 所以A1C∥平面AB1D． 
（2）由题意得：四边形BCC1B1是正方形．因为M为CC1的中点，D是BC的中点，所以△B1BD≌△BCM，所以∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．所以BM⊥B1D．  因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB1C1C．且BM⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D．
证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接OD．
∵O、D分别是A1B、BC的中点，
∴A1C∥OD．             
∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．       
（2）M为CC1的中点．           
证明如下：
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．
∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，
∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．
又∵，，∴BM⊥B1D．                      
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C．
∵BM⊂平面BB1C1C，
∴AD⊥BM．                                           
∵AD∩B1D=D，
∴BM⊥平面AB1D．
∵AB1⊂平面AB1D，
∴MB⊥AB1．