Question

已知函数f（x）=
（1）当a=2，x∈[2，+∞），时，证明函数f（x）的单调性．
（2）当a＞0时，若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求此时a的取值范围．

Answer

（1）根据函数单调性的定义说明，设x1，x2∈[2，+∞），x1＜x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，即可得到函数的单调性；
（2）当a＞0时，由函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，可得x1•x2-a＞0恒成立，进而得到a的取值范围
【解析】
（1）当a=2时，f（x）==x++2
任取x1，x2∈[2，+∞），x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1•x2＞2
∴f（x1）-f（x2）=（x1++2）-（x2++2）=（x1-x2）•
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在[2，+∞）上为增函数  …（6分）
（2）任取x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1•x2＞1
∴f（x1）-f（x2）=（x1++2）-（x2++2）=（x1-x2）•
∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x1）-f（x2）＜0恒成立，
故x1•x2-a＞0恒成立，
∴故a≤1 …（6分）