Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），并满足以下条件：
①对任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（3）若x满足，求函数的最大、最小值．

Answer

（1）赋值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用单调性定义：设x1＞x2＞0，则，由此可判断单调性；
（3）先根据单调性求出x的范围，然后判断的单调性，根据单调性即可求得其最值．
【解析】
（1）令x=y=1，则由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）设x1，x2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＞x2＞0，
则，则，
于是有，
即f（x1）＞f（x2）．
则由函数单调性的定义知，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由（2）及知，，
于是在上单调递减，在上单调递增，
，
因此最大值为x=2时，，
最小值为时，，
综上所述，的最大值为，最小值为2．