Question

已知函数f（x）=x²-2x-3，x∈[m，m+4]（其中m∈R）
（1）若m=0，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设函数f（x）在[m，m+4]上的最大值为g（m），求g（m）的最小值．

Answer

（1）由题意，f（x）=x2-2x-3，x∈[0，4]，借助函数图象即可求得最值；
（2）讨论区间中点和对称轴的关系，①当m+2≤1，即m≤-1时，可得g（m）=f（m）=m2-2m-3，②当m+2＞1，即m＞-1时，可得g（m）=f（m+4），
则g（m）为分段函数，由g（m）的图象即可求得其最小值．
【解析】
（1）由题意，f（x）=x2-2x-3，x∈[0，4]，
函数最小值在x=1处取得，f（x）min=f（1）=-4，
函数最大值在x=4处取得，f（x）max=f（4）=5；
（2）对称轴为x=1，二次函数开口向上，要求f（x）在[m，m+4]上的最大值，需要讨论区间中点和对称轴的关系，
区间中点为，
①当m+2≤1，即m≤-1时，
区间[m，m+3]的左端点m距离f（x）的对称轴远，则最大值在x=m处取得，
即g（m）=f（m）=m2-2m-3，
②当m+2＞1，即m＞-1时，
区间[m，m+3]右端点m+4离f（x）的对称轴远，则最大值在x=m+4处取得，
即g（m）=f（m+4）=（m+4）2-2（m+4）-3=m2+6m+5，
于是
由g（m）的图象可得，g（m）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
最小值在m=-1处取得，即g（m）min=g（-1）=0，
综上所述，g（m）的最小值为0．