Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）异面直线BD与AB₁所成的角的大小的余弦值
（2）四面体AB₁D₁C的体积．

Answer

（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角，解三角形即可求得结果．
（2）VA-B1D1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1，而VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．
【解析】
（1）连接DC1，BC1，
易知DC1∥AB1，
∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角，
在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，
∴cos∠BDC1==．
所以异面直线BD与AB1所成的角的大小的余弦值为．
（2）=----
而VABCD-AB1C1D1=SABCD•AA1=1×2=2，
VB1-ABC=VD1-ACD=VDA1C1D1=VB-A1B1C1=××2．
∴VA-B1D1C═2-4×××2=．
所以四面体AB1D1C的体积为．