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如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:
manfen5.com 满分网;②a=1;③manfen5.com 满分网;建立适当的空间直角坐标系,
( I)当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;
( II)在满足( I)的条件下,若a取所给数据的最小值时,这样的点Q有几个?若沿BC方向依次记为Q1,Q2,…,试求二面角Q1-PA-Q2的大小.

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( I)建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,设出点Q的坐标,进而得到向量PQ,QD的坐标,再结合PQ⊥QD即可求出结论; ( II) 由(Ⅰ)知,此时或,即满足条件的点Q有两个;再结合PA⊥平面ABCD即可得到∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角,再代入向量的夹角计算公式即可. 【解析】 ( I)建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) 设Q(a,x,0)(0≤x≤2),…(2分) ∵, ∴由PQ⊥QD得. ∵x∈[0,2],a2=x(2-x)∈(0,1]…(4分) ∴在所给数据中,a可取和a=1两个值.…(6分) ( II)  由(Ⅰ)知,此时或,即满足条件的点Q有两个,…(8分) 根据题意,其坐标为和,…(9分) ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2, ∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.…(10分) 由=, 得∠Q1AQ2=30°, ∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30°.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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