Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁，BC₁的中点，则以下结论不成立的是    ．
①EF与A₁C₁异面
②EF与BB₁垂直
③EF与BD垂直
④EF与CD垂直．

Answer

连接A1B，根据正方形对角线互相平分及三角形中位线定理，可得EF∥A1C1，进而判断①
根据正方体的几何特征，线面垂直的性质及异面直线夹角的定义，可判断②
根据正方形的对角线互相垂直，结合平行公理及①中结论，可判断③
根据异面直线夹角的定义，及①中结论，可判断④
【解析】
连接A1B，易得A1B过E点，且E为A1B的中点，则EF∥A1C1，故①不成立；
由正方体的几何特征可得B1B⊥面A1B1C1D1，又由A1C1⊂面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，由①可得EF与BB1垂直，即②成立；
由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，∵EF∥A1C1，AC∥A1C1，∴EF∥AC，则EF与BD垂直，即③成立；
由①③中结论，EF∥AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成的角，由∠ACD=45°，故EF与CD垂直，即④不成立
故答案为：①④