Question

已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意先转化为：动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，再根据抛物线的定义即可求出．
（2）在轨迹C上若存在两点M、N，则满足kMN×k=-1，MN的中点为Q（x°，y°）在直线l上，即y=kx+3；又由Q（x，y）在抛物线的内部，则，代入解出即可．
解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴，
∴轨迹方程为y2=4x．
（2）易知k=0时不符合题意，应舍去．
当k≠0时，设点关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x°，y°），则，
∵Q（x，y）在直线l上，
∴y=kx+3，∴．
∵点Q在抛物线的内部，∴．
即⇒⇒．
∵恒成立，∴，
∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．
∴k的取值范围是（-1，0）．