Question

甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a₁，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a₁乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a₁除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a₂，对a₂仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a₃，当a₃＞a₁时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a₁的取值范围是    ．

Answer

按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．
【解析】
由题意得，a3的结果有四种：
1．a1→2a1+12→2（2a1+12）+12=4a1+36=a3，
2．a1→2a1+12→（2a1+12）+12=a1+18=a3，
3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，
4．a1→a1+12→2（a1+12）+12=a1+36=a3，
每一个结果出现的概率都是
∵a1+18＞a1，a1+36＞a1，
∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，
∴4a1+36＞a1，a1+18≤a1，
或4a1+36≤a1，a1+18＞a1，
解得a1≥24或a1≤-12．
故a1的取值范围是（-∞，12]∪[24，+∞）
故答案为：（-∞，12]∪[24，+∞）