Question

设f（x）=ax³+bx²+4x，其导函数y=f′（x）的图象经过点，（2，0），
（1）求函数f（x）的解析式和极值；
（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求出f′（x）=3ax2+2bx+4，把点，（2，0）代入f′（x）求出a，b，就得到f（x）．再令f′（x）=0，得，x2=2，列表讨论能求出f（x）的极值．
（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx2恒成立，等价于对x∈[0，3]都有f（x）min≥（mx2）max．由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=ax3+bx2+4x，
∴f′（x）=3ax2+2bx+4，
∵y=f′（x）的图象经过点，（2，0），
∴，解得a=1，b=-4，
∴f（x）=x3-4x2+4x，
f′（x）=3x2-8x+4．
令f′（x）=0，得，x2=2，
列表讨论：

 x  （-∞，）    （，2）  2  （2，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

∴在x=处，f（x）取极大值f（）=（）3-4×（）2+4×=．
在x=2处，f（x）取极小值f（2）=23-4×22+4×2=0．
（2）∵对x∈[0，3]都有f（x）≥mx2恒成立，
∴对x∈[0，3]都有f（x）min≥（mx2）max．
当x∈[0，3]时，令f′（x）=0，得，x2=2，
∵f（0）=0，f（）=，f（2）=0，f（3）=33-4×32+4×3=3．
∴当x∈[0，3]时，f（x）min=0．
当m＞0时，mx2在[0，3]内是增函数，当x=3时，（mx2）max=9m，
∵f（x）min≥（mx2）max，∴9m≤0，解得m≤0，不成立；
当m＜0时，mx2在[0，3]内是减函数，当x=0时，（mx2）max=0，
∵f（x）min≥（mx2）max，∴0≥0，成立．∴m＜0．
当m=0时，mx2=0，满足f（x）min≥（mx2）max，∴m=0成立．
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，0]．