Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n＞0且S_n=，令b_n=．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）使乘积b₁•b₂…b_k为整数的k（k∈N^*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．

Answer

（1）由=，能够推导出数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由=，知b1×b2×…×bk=log2（k+2）．令log2（k+2）=m，则k=2m-2，（m为整数），由此能求出区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．
（1）【解析】
由于=，
当n=1时，a1=S1=，…（1分）
整理得，
解得a1=2或a1=-1．
∵an＞0，
∴a1=2．…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-，…（3分）
化简得，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0．
∵an＞0，
∴an-an-1=1．…（5分）
∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴an=2+（n-1）=n+1．…（6分）
（2）【解析】
∵=，
∴b1×b2×…×bk
=
=
=log2（k+2）．…（8分）
令log2（k+2）=m，则k=2m-2，（m为整数），…（9分）
由1≤2m-2≤2012，得3≤2m≤2014，
∴m=1，2，3，4，…，10．
∴在区间[1，2012]内的k值为22-2，23-2，…，210-2，…（10分）
其和为（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=
=2026．…（12分）