Question

已知直线l₁：mx-y=0，l₂：x+my-m-2=0
（1）求证：直线l₂恒过定点，并求定点坐标；
（2）求证：对m的任意实数值，l₁和l₂的交点M总在一个定圆上；
（3）若l₁与定圆的另一个交点为P₁，l₂与定圆的另一个交点为P₂，求当实数m取值变化时，△MP₁P₂面积取得最大值时，直线l₁的方程．

Answer

（1）对于任意实数m，l2：x+my-m-2=0恒过定点，则与m的取值无关，转化为（x-2）+m（y-1）=0让m的系数为零、x-2=0即可得到直线l2恒过定点，以及定点坐标；
（2）联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点M的方程，判断M总在一个定圆上即可；
（3）通过l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，利用（2）说明P1P2是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，）到l1的距离等于C到l2的距离时，△MP1P2面积取得最大值，利用点到直线的距离公式列出m的关系式，求出m即可得到直线l1的方程．
【解析】
（1）方程l2：x+my-m-2=0可化为（x-2）+m（y-1）=0
∵对于任意实数m直线l2：x+my-m-2=0 恒过定点
∴
∴故定点坐标是（2，1）．
（2）由题意可得，消去m可得x2+y2-2x-y=0，方程表示圆，即M总在一个定圆上．
（3）由圆C的方程以及直线l1，l2的方程可知，直线l1恒过（0，0）点，
直线l2恒过（2，1）点，也在圆C上，
故直线l1，l2的与圆C的令一个交点P1（0，0），P2（2，1），P1P2是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，）到l1的距离等于C到l2的距离时，△MP1P2面积取得最大值，
所以，所以m=3或m=，
所以直线l1：3x-y=0或x+3y=0．