Question

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，点P为直线l：3x+4y+1=0上的一动点，若在圆C上存在点M使得∠MPC=30°，则点P横坐标的取值范围    ．

Answer

从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，切线为PM，PN，则∠MPC=30°时，∠MCN为120°，所以PC的长度为2，故可确定点P的横坐标x的取值范围．
【解析】
由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，
不妨设切线为PM，PN，
则∠MPC=60°时，∠MCN=120°，
∵C：（x-1）2+（y-1）2=1中，圆心C（1，1），半径r=1，
∴PC=2，
故问题转化为在直线l：3x+4y+1=0上找到一点P，使它到点C的距离为2．
设P（x，），
∵C（1，1），∴（x-1）2+（-1）2=4，
解得x=1或x=-，
∴点P的横坐标x的取值范围是[-，1]．
故答案为：[-，1]．