Question

幂函数y=的图象上的点 P_n（t_n²，t_n）（n=1，2，…）与x轴正半轴上的点Q_n及原点O构成一系列正△P_nQ_n-1Q_n（Q与O重合），记a_n=|Q_nQ_n-1|
（1）求a₁的值；   
（2）求数列{a_n}的通项公式 a_n；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，求k的最小值．

Answer

（1）由P1（t12，t1）（t＞0），知==tan=，由此能求出a1的值．
（2）设 Pn（tn2，tn），得直线 PnQn-1的方程为：y-tn=（x-tn2），故Qn-1（tn2-，0），由直线 PnQn的方程为：y-tn=-（x-tn2），得 Qn（tn2+，0），故tn2-=tn-12+，由此能求出an．
（3）对于任意的实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，3Sn-3n+2≥（1-λ）（3an-1）恒成立，等价于对任意实数 λ∈[0，1]时，（2n-1）λ+n2-4n+3≥0 恒成立．令f （λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，对任意实数 λ∈[0，1]时，，由此能求出k 的最小值．
【解析】
（1）∵P1（t12，t1）（t＞0），…（1分），
∴==tan=，解得t1=，
∴P1（，），a1=|Q1Q|=|OP1|=．…（5分）
（2）设 Pn（tn2，tn），得直线 PnQn-1的方程为：y-tn=（x-tn2），
∴Qn-1（tn2-，0），
直线 PnQn的方程为：y-tn=-（x-tn2），
∴得 Qn（tn2+，0）
∴Qn-1（tn-12+，0），故tn2-=tn-12+，
由 tn＞0，得tn-tn-1=
∴tn=t1+（n-1）=n．…（8分）
∴Qn（n（n+1），0），Qn-1（n（n-1），0），
∴an=|QnQn-1|=n．…（10分）
（3）∵对于任意的实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，
当n≥k时，3Sn-3n+2≥（1-λ）（3an-1）恒成立，
∴对任意实数λ∈[0，1]时 n2-2n+2≥（1-λ） （2n-1）恒成立，
∴对任意实数 λ∈[0，1]时，（2n-1）λ+n2-4n+3≥0 恒成立．…（12分）
令f （λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，
则 f （λ） 是关于 λ 的一次函数．
∴对任意实数 λ∈[0，1]时，，…（14分）
解得n≥3或n≤1，
又∵n∈N*，∴k 的最小值为3．…（16分）