Question

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=9，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂）+2，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为    ．

Answer

数列{an}为等比数列，利用等比数列的性质得到a1a2012=a2a2011=…=a1006a1007，把已知的a1=1，a2012=9代入，求出a1a2012，a2a2011，…，a1006a1007的值，然后由函数解析式，利用求导法则求出f′（x），并把x=0代入导函数中，表示出f′（0），利用乘法运算律整理后，将求出的a1a2012，a2a2011，…，a1006a1007的值代入，利用同底数幂的运算法则化简后，得出f′（0）的值，即为函数在（0，f（0））处的斜率，进而确定出函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程．
【解析】
∵等比数列{an}中，a1=1，a2012=9，
∴a1a2012=a2a2011=…=a1006a1007=9=32，
且f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a2012）+2，
∴f′（0）=（-a1）•（-a2）•…•（-a2012）=a1•a2•…•a2012，
=（a1a2012）•（a2a2011）•…•（a1006a1007）
=32•32•…•32（1006个32相乘）=31006×2=32012，
∴函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程y-f（0）=32012（x-0），即y=32012x+2．
故答案为：y=32012x+2．