Question

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为P（n）
（1）求P（3），P（4），P（5）； 
（2）求P（n）

Answer

（1）直接利用着色方案分别求出P（3），P（4），P（5）； 
（2）直接利用类比推理，推出凸n（n≥3）边形的边染色与凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1的关系，Pn=3×2n-1-Pn-1，然后求出染色方法数为Pn=2n+（-1）n•2，
解  （1）对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，
所以，对边a2有2种不同的染法，第三边有一种方法，所以P（3）=6，
类似四边形时对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，
对边a2有2种不同的染法，第三边有2种方法，如果与a1的颜色不同，则第四边为1种染色方法，
如果与a1的颜色相同，第四边有2种染色方法，P（4）=3×2×1×1+3×2×1×2=18，
类似可求P（5）=30； …（3分）
（2）设不同的染色法有Pn种．易知．
当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，
所以，对边a2有2种不同的染法，
类似地，对边a3，…，边an-1均有2种染法．对于边an，用与边an-1不同的2种颜色染色，
但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，
而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1，
于是可得Pn=3×2n-1-Pn-1，
Pn-2n=（Pn-1-2n-1）．
于是Pn-2n=（-1）n-3（P3-23）=（-1）n-1•（-2），
Pn=2n+（-1）n•2，n≥3．
综上所述，不同的染色方法数为Pn=2n+（-1）n•2，．…（10分）