Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃=，S₆=，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用等比数列的求和公式列方程可求得q，从而可得数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）由于bn=2λ-n2，数列{bn}单调递减，bn+1＜bn，可得6λ＜2n+1对任意n∈N*恒成立，对n分奇数与偶数讨论即可求得实数λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵S3=，S6=，
∴q≠1，
∴=，=，
得：1+q3=，
∴q=-，a1=2．
∴an=2×．
（Ⅱ）∵bn=λan-n2，
∴bn=2λ-n2，
由题意可知对任意n∈N*，数列{bn}单调递减，
∴bn+1＜bn，
即2λ-（n+1）2＜=2λ-n2，
即6λ＜2n+1对任意n∈N*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-，当n=1时，-取得最大值-1，故λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜，当n=2时，取得最小值，故λ＜．
综上可知，-1＜λ＜，即实数λ的取值范围是（-1，）．