Question

如图，在C城周边已有两条公路l₁，l₂在点O处交汇，现规划在公路l₁，l₂上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城，已知OC=，∠AOB=75°，∠AOC=45°，设OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A、B的位置，使△OAB的面积最小．

Answer

（1）根据△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，可得．
（2）根据△OAB的面积，化简为[（x-2）++4]，再利用基本不等式求出
它的最小值．
（1）因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，
所以，…（4分）
即，所以，，它的定义域为（2，+∞）．…（6分）
（2）△OAB的面积=•   …（8分）
=•=[（x+2）+]=[（x-2）++4]
≥•（2+4）=4（+1）．    …（12分）
当且仅当x=4时取等号，此时．
故当OA=4km，时，△OAB面积的最小值为．  …（14分）