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已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)...

已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)求函数h(x)的定义域及值域;
(Ⅱ)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由.
(Ⅰ)由f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),知h(x)=f(x)+g(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).由此能求出函数h(x)的定义域和值域. (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数h(x)的定义域{x|-2<x<2}关于原点对称,且h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x),由此能判断h(x)的奇偶性. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x), ∴h(x)=f(x)+g(x)=lg(2+x)+lg(2-x). 由得-2<x<2. 所以函数h(x)的定义域是{x|-2<x<2}. h(x)=f(x)+g(x)=lg(4-x2). ∵-2<x<2,∴0<4-x2≤4, ∴lg(4-x2)≤2lg2,所以函数h(x)的值域是(-∞,2lg2]. (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数h(x)的定义域{x|-2<x<2}关于原点对称, 且h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x), ∴h(x)是偶函数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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