Question

如果方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1
B．
C．
D．

Answer

方程（x-1）（x2-2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2-2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2-x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【解析】
∵方程（x-1）（x2-2x+m）=0的有三根，
∴x1=1，x2-2x+m=0有根，方程x2-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边长．
∴有x2+x3＞x1=1，|x2-x3|＜x1=1，由根系关系得x2x3=m，x2+x3=2＞1成立，；
当|x2-x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2-4x2x3＜1．
代入相应数据得4-4m＜1．解得，m＞．
∴＜m≤1．
故选B．