Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E、F分别为棱AA₁、CC₁的中点，O是AC，BD的交点．
（1）证明：B₁D₁⊥OF； 
（2）证明：平面EB₁D₁∥平面BDF．

Answer

（1）先证明OF⊥BD，再证明B1D1∥BD，即可得到结论；
（2）证明线面平行，即ED1∥平面EB1D1，即可证明平面EB1D1∥平面BDF．
证明：（1）∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体
∴DF=BF，O是AC的中点，∴OF⊥BD
又∵BB1∥DD1，∴BB1D1D是平行四边形
∴B1D1∥BD，∴B1D1⊥OF…（6分）
（2）由（1）知B1D1∥BD，而B1D1⊂平面EB1D1，BD⊄平面EB1D1
∴BD∥平面EB1D1
取DD1中点G，连接FG，∴FG∥AB且GF=AB
∴ABFG是平行四边形，∴AG∥BF
又∵AE∥GD1且AE=GD1，∴EAGD1是平行四边形
∴AG∥ED1，ED1∥BF
而ED1⊂平面EB1D1，BF⊄平面EB1D1，∴ED1∥平面EB1D1
又ED1∩B1D1=D1，ED1，B1D1⊂平面EB1D1
∴平面EB1D1∥平面BDF．…（14分）