Question

已知函数f（x）=；
（1）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并给出证明；
（2）是否存在负数x，使得f（x）=成立，若存在求出x；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先把f（x）化简，然后用定义给出证明；
（2）由f（x）的单调性求出f（x）在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，求出3x在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，若两值域交集非空，则存在x，否则不存在．
【解析】
（1），∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数，
下面用定义给出证明：
设x1＜x2＜-1，则，
∵x2-x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
（2）∵x＜0时，，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上为减函数，
当x＜-1时，f（x）＜-1，当-1x＜0时，x＞2，故当x＜0时，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在负数x，使得f（x）=成立．