Question

（1）已知，求tanx的值．
（2）已知，，，求sinα和cosβ的值．

Answer

（1）将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinxcosx的值小于0，由x的范围得到sinx大于0，cosx小于0，利用完全平方公式求出sinx-cosx的值，与已知等式联立求出sinx与cosx的值，即可确定出tanx的值；
（2）由α的范围及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，由sin（α+β）的值大于0，及α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，将cosβ变形为cos[（α+β）-α]，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．
【解析】
（1）将sinx+cosx=②两边平方得：（sinx+cosx）2=，
∴1+2sinxcosx=，即2sinxcosx=-＜0，
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=，
∴sinx-cosx=②，
联立①②解得：sinx=，cosx=-，
则tanx==-；
（2）∵0＜α＜＜β＜π，且sin（α+β）=＞0，cosα=，
∴＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-=-，sinα==，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=-