Question

若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．
（Ⅰ）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x，y∈A，则x+y∈A；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A；
命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有．

Answer

（1）利用“好集”的概念和集合B，能够即可作出正确判断．
（2）集合A是“好集”，利用“好集”的概念，先证明-y∈A，再证明x+y∈A．
（3）对命题P的证明分两种情况讨论：①当x，y中有0或1；②x，y均不为0，1．对命题Q的证明借助P的结论可证明．
【解析】
（Ⅰ）集合B不是“好集”．理由是：假设集合B是“好集”．
因为-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．这与-2∉B矛盾．
有理数集Q是“好集”．因为0∈Q，1∈Q，
对任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0时，．
所以有理数集Q是“好集”．
（Ⅱ）因为集合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，则0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．
（Ⅲ）命题p，q均为真命题．理由如下：
对任意一个“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1时，显然xy∈A．
下设x，y均不为0，1．由定义可知：．
所以 ，即．
所以 x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x2∈A．同理可得y2∈A．
若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）2∈A．
若x+y≠0且x+y≠1，则（x+y）2∈A．
所以 2xy=（x+y）2-x2-y2∈A．
所以 ．
由（Ⅱ）可得：．
所以 xy∈A．
综上可知，xy∈A，即命题p为真命题．
若x，y∈A，且x≠0，则．
所以 ，即命题q为真命题．